matematika logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
b^c= a ditulis sebagai ^blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan ^blog a = c sebagai log_ba = c.

Rumus

Logaritma
ac = b → ª log b = c
a = basis
b = bilangan yang dilogaritma
c = hasil logaritma
Sifat-sifat Logaritma
ª log a = 1
ª log 1 = 0
ª log aⁿ = n
ª log bⁿ = n • ª log b
ª log b • c = ª log b + ª log c
ª log b/c = ª log b – ª log c
ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b
ª log b = 1 ÷ b log a
ª log b • b log c • c log d = ª log d
ª log b = c log b ÷ c log a

Kegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bⁿ = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

Sains dan teknik

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.

• Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10⁻⁷ pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

• Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

• Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

• Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Penghitungan yang lebih mudah

Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::

Penghitungan dengan angka	Penghitungan dengan eksponen	Identitas Logaritma

Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

Kalkulus

Turunan fungsi logaritma adalah

dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi

Integral fungsi logaritma adalah

Integral logaritma berbasis e adalah

Sebagai contoh carilah turunan

Penghitungan nilai logaritma

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.

Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.

Sifat-Sifat Logaritma

8:42 AM  Smufy   0

Tentunya masih ingat kan, pada postingan sebelumnya, Logaritma bagian 1 , telah dijelaskan sekilas tentang sifat-sifat logaritma. pada kesempatan kali ini, saya akan coba bahas tentang sifat-sifat logaritma secara lebih detail.

Ada 7 sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan logaritma, yaitu :

Sifat 1
^alog x + ^alog y = ^alog xy
Contoh :
Sederhanakanlah !
a. ²log 4 + ²log 8
b. ³log (1/9) + ³log 81
c. ²log 2 + ²log 4
Jawab :
a. ²log 4 + ²log 8 = ²log 4 . 8 = ²log 32 = 5
b. ³log (1/9) + ³log 81= ³log (1/9). 81 = ³log 9 = 2
c. ²log 2 + ²log 4 = ²log 2 .4 = ²log 16 = 4

Sifat 2
^alog x – ^alog y = ^alog (x/y)
Contoh:
Sederhanakanlah!
a. ²log 16 – ² log 8
b. log 1.000 – log 100
c. ³log 18 – ³log 6
Jawab :
a. ²log 16 – ² log 8 = ²log (16/8) = ²log 2 = 1
b. log 1.000 – log 100 = log (1000/100) = log 10 = 1
c. ³log 18 – ³log 6 = ³log (18/6) = ³log 3 = 1

Sifat 3
^alog xⁿ = n . ^alog x
Contoh :
Sederhanakan!
a. 2 log 3 + 4 log 3
b. 2 log a + 2 log b
Jawab:
a. 2 log 3 + 4 log 3 = log 3² + log 3⁴
= log 9 + log 81
= log 9 . 81
= log 729

b. 2 log a + 2 log b = log a² + log b²
= log a² . b²
= log (ab)²

Ingat : 1. log 2x = log x . log x = (log x)2 log x2 = 2 log x Jadi log 2x ≠ log x2 2. Log -1x = (1/log x) Log x-1 = log (1/x) = -log x Jadi log -1x ≠ log x-1

Sifat 4
^alog b x ^blog c = ^alog c
Contoh :
a. ³log 7 x ⁷log 81 = ³log 81 = ³log 3⁴ = 4
b. ²log 5 x ⁵log 32 = ²log 32 = ²log 2⁵ = 5

Sifat 5

Contoh :
³log 7 x ⁷log 81
Jawab :




Sifat 6
a ^{alog x} = x
Contoh :
a. 5^{5log 8}
b. 4^{2log 3}
c. 9^{3log 4}
Jawab :
a. 5^{5log 8} = 8
b. 4^{2log 3} = 2^{2.2log 3} = 2^{2log 32} = 9
c. 9^{3log 4} = 3^{2.3log 4} = 3^{3log 42} = 16

Sifat 7
^anlog b^m = (n/m)^alog b
Untuk a dan b bilangan real positif, dan a ≠ 1

Contoh :
Hitunglah !
1. ⁴log 32
2. ⁸log 64
3. Jika ³log 5 = a hitunglah ²⁵log 27
Jawab :
1. ⁴log 32 = ²²log 2⁵= 5/2
2. ¹⁶log 64 = ²⁴log 2⁶= 6/4 = 3/2
3. ²⁵log 27 = ⁵²log 3³= (3/2)⁵log 3 = 3/2a

Posted in: Logaritma, Matematika, SMA, SMP